घातांक एवं करणी की परिभाषा, नियम एवं उदाहरण

नमस्कार दोस्तों, आज आप घातांक एवं करणी की समस्त जानकारी पढ़ने वाले हैं तो चलिए पढ़ना शुरू करते हैं।

घातांक की परिभाषा

यदि n एक घन पूर्णांक तथा a कोई वास्तविक संख्या हो, तो aⁿ = a × a × a × a × a × ……….× a (n बार)

aⁿ को a का n वा घात कहाँ जाता हैं वास्तविक संख्या a को आधार तथा n को a के n वें घात का घातांक कहाँ जाता हैं।

घातांक के नियम

a^m× aⁿ = a^{m + n}
(a^m) ÷ (aⁿ) = a^{(m – n)}
(a^m)ⁿ= a^mn
(ab)ⁿ = (aⁿ× aⁿ)
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
a⁰ = 1

a° = a^m – a^m = a^m/a^m= 1 (जिस संख्या की घात शून्य हो उसका मान 1 होता हैं।)

1/a⁻ⁿ = aⁿ

जैसे:-

(1⁄4)⁻² = 4²

घातांक वाली संख्या को ऊपर या नीचे बदलने पर उसकी घात के चिन्ह (-, +) बदल जाते हैं।

(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

a^m + a^n + a^k = a^(m + n + k)

जैसे:-

2¹ × 2² × 2³
2⁽¹⁺²⁺³⁾
2⁶

करणी की परिभाषा

जिस संख्या का मूल पूर्णतः ज्ञात नहीं किया जा सकता ऐसी संख्या के मूल को करणी (Surds) अथवा अमूलक संख्या (Irrational Quantity) कहाँ जाता हैं।

जैसे:- √2, √3, ∛4 आदि करणी (Surds) अथवा अमूलक संख्या हैं।

करणी के नियम

(ⁿ√a)ⁿ = (a^1/n)ⁿ = a
ⁿ√ab = ⁿ√a . ⁿ√b
^m√ⁿ√a = ^mn√a
ⁿ√(a/b) = ⁿ√a/ⁿ√b
(ⁿ√a)^m = ⁿ√a^m

करणी के प्रकार

शुद्ध करणी
मिश्र करणी
समरूप अथवा सजातीय करणी
संयुग्मी करणी

1. शुद्ध करणी (Pure Surds)

ऐसी करणी जिसका परिमेय गुणनखण्ड 1 हो, शुद्ध करणी कहलाती हैं।

2. मिश्र करणी (Mixed Surds)

ऐसी करणी जिसका एक गुणनखण्ड 1 के अतिरिक्त कोई अन्य परिमेय संख्या हो, मिश्र करणी कहलाती हैं।

3. समरूप अथवा सजातीय करणी (Similar or Like Surds)

जिन करणियों के अपरिमेय गुणनखण्ड समान होते हैं, समरूप या सजातीय करणियाँ कहलाती हैं।

4. संयुग्मी करणी (Conjugate Surds)

द्विपद वाली ऐसी दो करणियाँ जिनके दोनों पद समान हो, परन्तु दोनों करणियों में दोनों पदों के बीच केवल ‘+’ और ‘-’ चिन्ह का अन्तर हो, संयुग्मी करणी कहलाती हैं।

जैसे:- (4 + √5) की संयुग्मी करणी (4 – √5) होगी।

करणी का जोड़, घटाव, गुणनफल तथा भाजन

करणियों का जोड़ना, घटाना, गुणा तथा भाग केवल समान घात (समरूप) वाली करणियों द्वारा किया जाता है यदि करणियाँ समान घात में न हो, तो सबसे पहले उन्हें समान घात में बनाया जाता है, फिर उनका जोड़, घटाव, गुणन या भाजन किया जाता हैं।

उदाहरण :-

1. समान करणियों का जोड़

√5 + 2√5 + 4√5
√5 (1 + 2 + 4)
Ans. 7√5

2. समान करणियों का घटाव

9√7 – 4√7
√7(9 – 4)
Ans. 4√5

3. समान करणियों का गुणन

4√3 × 2√3
4 × 2 × (√3)²
8 × 3
Ans. 24

4. समान करणियों का भाजन

8√3 ÷ 4√3
√3 (8 ÷ 4)
√3 × 2
Ans. 2√3

घातांक एवं करणी से संबंधित प्रश्न उत्तर

Q.1 (1296)⁰⋅⁷⁵ × (36)⁻¹ का मान हैं?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

हल:- प्रश्ननानुसार,
(1296)⁰⋅⁷⁵ × (36)⁻¹
(1296)³⁄₄ × 1⁄36
(6⁴)³⁄₄ × 1⁄6²
6³ × 1⁄6²
6 × 6 × 6 × 1/6 × 6
6
Ans. 6

Q.2 (2.4 + 10³) ÷ (8 × 10⁻²) = ?
A. 10
B. 2 × 10³
C. 3 × 10⁴
D. 40

हल:- प्रश्ननानुसार,
(2.4 + 10³) ÷ (8 × 0⁻²) = ?
(2.4 + 10³)/(8 × 10⁻²) = ?
0.3 × 10⁽³⁺²⁾
0.3 × 10⁵
3 × 10⁴
Ans. 3 × 10⁴

Q.3 4√(625)³ का मान निकालिए
A. 25
B. 50
C. 125
D. 200

हल:- प्रश्ननानुसार,
4√(625)³
(625)³⁄₄
5⁽⁴*³⁄₄⁾
5³
5×5×5
125
Ans. 125

Q.4 (√8)⅓
A. 2
B. √2
C. 4
D. 2√2

हल:- प्रश्ननानुसार,
(√8)⅓
(8½)⅓
8⁽½ * ⅓⁾
8⅙
(2³)⅙
2⁽³*⅙⁾
2½
√2
Ans. √2

Q.5 (32)⁻¹⁄₅ बराबर हैं?
A. ⅕
B. ¼
C. ½
D. ⅙

हल:- (32)⁻⅕
(¹⁄₃₂)⅕
[(½)⁵]⅕
(½)⁽⁵*⅕⁾
½
Ans. ½

Q.6 (⁻¹⁄₂₅)⁻²⁄₃ का मान होगा?
A. 1/25
B. -1/25
C. 25
D. -25

हल:- प्रश्ननानुसार,
(⁻¹⁄₂₅)⁻²⁄₃
-(-125)²⁄₃
[(-5)³]²⁄₃
(-5)⁽³*²⁄₃⁾
(-5)²
-5 × -5
25
Ans. 25

Q.7 ∛(64)⁻⁴ × (125)⁻² का मान होगा?
A. 6400
B. ¹⁄₆₄₀₀
C. 1⁄₃₂₀₀
D. 3200

हल:- प्रश्ननानुसार,
∛(64)⁻⁴ × (125)⁻²
(64)⁻⁴⁄₃ × 125⁻²⁄₃
(4³)⁻⁴⁄₃ × (5³)⁻²⁄₃
4⁻⁴ × 5⁻²
¹⁄₂₅₅ × ¹⁄₂₅
¹⁄₆₄₀₀
Ans. ¹⁄₆₄₀₀

Q.8 व्यंजक [(√5)⁵ × (√5)⁻³ / (√5)⁻²]³⁄₂ का मान हैं?
A. 5²
B. 5³
C. √5
D. 25

हल:- प्रश्ननानुसार,
[(√5)⁵ × (√5)⁻³ / (√5)⁻²]³⁄₂
[(5⁵⁄₂ × 5⁻³⁄₂)/5⁻²]³⁄₂
(5²)³⁄₂
5³
Ans. 5³

Q.9 2⁻² + (-2)² बराबर हैं?
A. 0
B. ¼
C. ¹⁷⁄₄
D. 1

हल:- प्रश्ननानुसार,
2⁻² + (-2)²
[1/(2²)] + (-2)²
¼ + 4
(1 + 16)⁄4
¹⁷⁄₄
Ans. ¹⁷⁄₄

Q.10 (8)⁻²⁵ – (8)⁻²⁶ का मान हैं?
A. 7 × 8⁺²⁶
B. 7 × 8⁻²⁶
C. 9 × 8⁻²⁵
D. 9 × 8⁻²⁷

हल:- प्रश्ननानुसार,
(8)⁻²⁵ – (8)⁻²⁶
(8)²⁵(1 – 8⁻¹)
(8)²⁵(1 – ¹⁄₈)
(8)²⁵ × ⁷⁄₈
7 × 8⁻²⁶
Ans. 7 × 8⁻²⁶

Q.11 (64)⁻¼ × (16)¼ का मान हैं?
A. ½√2
B. 2√2
C. 1/√2
D. √2

हल:- प्रश्ननानुसार,
(64)⁻¼ × (16)¼
[1/(64)¼] × (16)¼
½√2 × 2
1/√2
Ans. 1/√2

Q.12 a⁻⁵ × a⁻⁴ × a⁻³ × a⁻² × a⁵ × a⁶ × a⁷ बराबर हैं?
A. a²
B. a³
C. a⁴
D. a⁵

हल:- प्रश्ननानुसार,
a⁻⁵ × a⁻⁴ × a⁻³ × a⁻² × a⁵ × a⁶ × a⁷
a⁽⁻⁵⁻⁴⁻³⁻²⁺⁵⁺⁶⁺⁷⁾
a⁽⁻¹⁴⁺¹⁸⁾
a⁴
Ans. a⁴

Q.13 यदि (2^m)^m = 512, तो m बराबर हैं?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

हल:- प्रश्ननानुसार,
(2^m)^m = 512
2^m^2 = 2⁹
m = √9
3
Ans. 3

Q.14 माना m तथा n दो पूर्ण संख्याएँ हैं यदि m^n = 25 हैं, तो n^m का मान हैं?
A. 16
B. 32
C. 48
D. 56

हल:- प्रश्ननानुसार,
m^n = 25 = 5²
n^n = 2⁵ = 32
Ans. 32

Q.15 यदि 2^x × 8^1/5 = 2^1/5 हो, तो x का मान क्या हैं?
A. -2/5
B. 2
C. -5/7
D. 0

हल:- प्रश्ननानुसार,
2^x × 8^1/5 = 2^1/5
2^x × 2^3/5 = 2^1/5
x + 3/5 = 1/5
x = 1/5 – 3/5
x = -2/5
Ans. -2/5

Q.16 यदि 4^2x = 256 हो तो x = ?
A. 1
B. 2
C. 4
D. 10

हल:- प्रश्ननानुसार,
4^2x = 256
4^2x = 4⁴
2x = 4
x = 2
Ans. 2

Q.17 यदि 125^x = 3125 हो तो x का मान हैं?
A. 3⁄5
B. ⁵⁄3
C. ⁵⁄4
D. 3⁄4

हल:- प्रश्ननानुसार,
125^x = 3125
(5³)^x = 5⁵
5^3x = 5⁵
3x = 5
x = ⁵⁄3
Ans. ⁵⁄3

Q.18 यदि √2^n = 64 हो तो n का मान हैं?
A. 2
B. 6
C. 4
D. 12

हल:- प्रश्ननानुसार,
√2^n = 64
2^n/2 = 2⁶
n/2 = 6
n = 6 × 2
n = 12
Ans. 12

Q.19 √2, ∛3 तथा ∜4 में से सबसे बड़ी संख्या कौन सी हैं?
A. √2
B. ∛3
C. ∜4
D. √6

हल:- प्रश्ननानुसार,
ये कर्णियां क्रमशः घात 2, 3, एवं 4 की हैं इनका ल. स. = 12
√2 = 2½
√2 = 2⁽½⁶⁄₆⁾
√2 = 2⁶⁄₁₂
√2 = (2⁶)¹⁄₁₂
√2 = 12√64
∛3 = 3⅓
∛3 = 3⁽⅓⁴⁄₄⁾
∛3 = 3⁴⁄₁₂
∛3 = (3⁴)¹²
3√3 = 12√81
∜4 = 4¼
∜4 = 4⁽¼*³⁄₃⁾
∜4 = 4³⁄₁₂
∜4 = (4³)¹²
4√4 = 12√64
अतः 12√81 यानि ∛3 सबसे बड़ा हैं।
Ans. ∛3

Q.20 [(625)^6.25× (25)^2.6] / [(625)^6.75× (5)^1.2] = ?
A. 5²
B. 5³
C. √5
D. 25

हल:- प्रश्ननानुसार,
[(625)^6.25× (25)^2.6] / [(625)^6.75× (5)^1.2] = ?
[(5⁴)^625/100× (5²)^26/10] / [(5⁴)^675/100× (5¹)^12/10] = ?
[(5)^625/25 × (5)^5.2] / [(5)^675/25 × (5)^1.2] = ?
[(5)^{25 + 5.2}] / [(5)^{27 + 1.2}] = ?
(5)^30.2 / (5)^28.2 = ?
(5)^{30.2 – 28.2} = ?
(5)² = ?
25 = ?
? = 25
Ans. 25

Q.21 यदि x³⁄₂ - xy½ + x½y - y³⁄₂ को (x½ - y½) से विभाजित किया जाए तो भागफल होगा?
A. x + y
B. x - y
C. x½ + y½
D. x² - y²

x³⁄₂ - xy½ + x½y - y³⁄₂
x(x½ - y½) + y(x½ - y½)
(x½ - y½) (x + y)
∴ x³⁄₂ - xy½ + x½y - y³⁄₂ को (x½ - y½) से विभाजित किया जाए तो भागफल (x + y) प्राप्त होगा।
Ans. x + y

उम्मीद हैं आपको घातांक एवं करणी की जानकारी पसंद आयी होगी।