लघुतम समापवर्त्य एवं महत्तम समापवर्तक
अपवर्त्य या गुणज (Multiples) :-
"यदि किसी संख्या का पहाड़ा लिखते है, तो प्राप्त संख्याए उस संख्या के अपवर्त्य या गुणज कहलाते है। "
जैसे :- 4 का अपवर्त्य है 4, 8, 12, 16, 20, 24, ........
अपवर्तक या गुणनखण्ड (Factors) :
"यदि हम किसी संख्या के लिए वे सब संख्या ज्ञात कर ले जिनका भाग उस संख्या में पूरा-पूरा जाता है, तो वे संख्याएँ उस संख्या के अपवर्तक (गुणनखण्ड) कहलाती है। "
जैसे :- 16 के अपवर्तक है 1, 2, 4, 8, 16......आदि
उभयनिष्ठ अपवर्त्य (Common Multiple):- वैसी पूर्ण संख्या को दो या दो से अधिक संख्याओं का उभनिष्ठ अपवर्त्य कहा जाता,है जो उनमे से प्रत्येक संख्या का अपवर्त्य होता है। "
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड (Common Factors) :-
उभयनिष्ठ गुणनखण्ड उस संख्या को कहा जाता है जो किसी दी गई दो या दो से अधिक संख्याओं का गुणनखण्ड हो जैसे 12 और 18 का उभनिष्ठ गुणनखंड 6 है।
लघुत्तम समापवर्तक (L.C.M.) :- दी गई संख्याओं का ल. स. वह छोटी से छोटी संख्या है जो दी गई प्रत्येक संख्या से पूरी पूरी बार विभाजित हो जाती है इसे संक्षेप में ल.स. लिखते है।
महत्तम समापवर्तक (H.C.F.) दी गई संख्याओं का म. स. वह बड़ी संख्या है जिसमे दी गई संख्याएँ पूरी- पूरी बार विभाजित हो जाती है।
ल. स. प. निकालने की विधियाँ
1. गुणनखण्ड विधि (Factorisation Method) :- इस विधि के अंतर्गत निम्न क्रियाविधि अपनाई जाती है -
a. सबसे पहले दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्ड के रूप में लिखते है।
b. उन सभी अभाज्य गुणनखंडो को सबसे बड़े घात के साथ लिखते है, जो उनमे से किसी भी संख्या के गुणनखण्ड में शामिल हो।
c. इस प्रकार प्राप्त गुणनखण्डों का गुणनफल दी गई संख्याओं का ल. स.म. होता है।
उदाहरण :- 12, 18, और 24 का ल. स. प. ज्ञात करो।
हल : 12 = 2 x 2 x 2 x 3 = 22 x 3
18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 32
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
अभीष्ट ल. स. प. = 23 x 32 = 8 x 9 = 72
2. भाग विधि (Division Method) :- इस विधि के अंतर्गत निम्न क्रियाविधि अपनाई जाती है -
a. जन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना हो उन्हें एक पंक्ति में लिख लेते है।
b.अब ऐसी अभाज्य संख्या ज्ञात करते है जिससे दी गई संख्याओं में से कम से कम दो में पूरा- पूरा भाग जाता है।
c. इसके बाद दी गई संख्याओं में से जिनमें भाजक से पूरा - पूरा भाग लग जाता है, उन्हें ज्यो का त्यों दूसरी पंक्ति में उतार लेते है।
d. यह क्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तब कम से कम दो संख्याओं में से किसी एक संख्या का पूरा-पूरा भाग जाता हो।
e. सभी भाजको एवं अंतिम पंक्ति की संख्याओं को गुणा करके अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक प्राप्त करते है।
दशमलव संख्याओं का ल. स. : दशमलव संख्याओं का ल. स. निकालने के लिए उसके संगत पूर्णांक संख्याओं का ल. स. निकाले तथा प्राप्त ल. स. में दशमलव के सबसे कम अंको की संख्या के बराबर दशमलव दाएं से बाएँ ओर डाले।
उदाहरण :- 2.4, 0.072 तथा 108 का ल. स. = 216 होगा।
महत्तम समापवर्तक निकालने की विधियाँ
1. गुणनखण्ड विधि :- दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडो के रूप में लिखते है। इनमें से उभयनिष्ठ गुणनखंड को छांटते है। इन उभयनिष्ठ अभाज्य गुणखण्डो की छोटी से छोटी घातो वाले गुणखण्डो का गुणखण्डो का गुणनफल ही दी गई संख्याओं का म. स. होगा।
उदाहरण :- 14, 21 और 28 का म. स. ज्ञात करो।
हल : 14= 2 x 7,21 = 3 x 7,28 = 2 x 2 x 7
यहाँ उभयनिष्ठ गुणनखंड = 7
अतः दी गई संख्याओं का म.स. = 7
2. भाग विधि (Division Method) :- दी गई संख्याओं में से छोटी से बड़ी संख्या में भाग देते है बचे शेष से भाजक में भाग देते है। यह क्रिया तब तक जारी रहती है जब तक की शेष शून्य हो जाए। अंतिम भाजक दी गई दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक होता है।
नोट :- यदि दो से अधिक संख्याओं का म. स. निकालना हो तो किन्ही दो संख्याओं का म. स. निकालते है। इस म. स. तथा तीसरी संख्या का म. स. और चौथी संख्या का म. स. इन चार संख्याओं का म.स. होगा।
दशमवल वाली संख्याओं का म.स.प. निकालने की विधि :-
दी गई दशमलव संख्याओं का म. स. ज्ञात करने के लिए सबसे पहले उनके संगत पूर्णाक संख्याओं का म. स. निकालते है तथा प्राप्त म. स. में दाहिने और से उतने अंक के बाद दशमवल डाल देते है, जितना की दशमलव के अधितम अंको की संख्या में दशमलव के बाद दाहिनी ओर से उतने अंक के बाद दशमलव डाल देते है, जितना की दशमलव के अधितम अंको की संख्या में दशमलव के बाद दाहिनी ओर अंक हो।
उदारहण :- 0.008, 024 तथा 40 का म. स. ज्ञात करो।
हल : 8 = 2 x 2 x 2 x 3
40 = 2 x 2 x 2 x 5
संगत पूर्णाक संख्याओं का म. स. = 8
अतः अभीष्ट म. स. = 0.008
भिन्नों का म. स. = अंशो का म. स. /हरो का ल. स.
उदाहरण :- 4/15, 8/30 का म. स. ज्ञात करे।
हल : 4,8 का म. स./15,30 का ल. स. = 4/30 = 2/15
घातांक संख्याओं का म. स. :-
(अ) यदि दी गई संख्याओं का आधार समान हो और घात आस्मां हो तो न्यूनतम घात वाली संख्या दी गई संख्याओं का म. स. होगी।
उदाहरण : 38, 35, 34, 39 का म. स. ज्ञात करे।
हल : अभीष्ट म. स. = 34 = 81
उदाहरण : 7-5, 7-8, 7-3, 7-12 का म. स. ज्ञात करो।
हल : यहाँ न्यूतम घात वाली संख्या 7-12
(ब) यदि दी गई संख्याओं का आधार और घात आस्मां हो तो म. स. गुणनखण्ड विधि से निकालते है।
उदाहरण : 34 और 52 का म. स. ज्ञात करो।
हल : 34 = 1 x 34, 52 = 1 x 5 2
अभीष्ट म. स. = 1
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